Ambas as formas tranquilo e tranqüilo estão correctas: a primeira de acordo com a norma europeia do português e a segunda de acordo com a norma brasileira, mas só até à entrada em vigor do Acordo Ortográfico de 1990, que suprime o trema em palavras portuguesas ou aportuguesadas, conservando-se apenas em palavras derivadas de nomes próprios estrangeiros.

As duas formas lêem-se da mesma maneira, sendo o u pronunciado, ao contrário do que acontece com o u da palavra quilograma, por exemplo. A diferença gráfica reside na utilização do trema sobre o u, vigente no Brasil antes do Acordo Ortográfico de 1990, mas não em Portugal, para indicar que o u se pronuncia depois de g ou q.

Ver também: uso do trema; supressão do trema

Notas

1. As respostas são datadas e escritas segundo a ortografia da norma europeia anterior ao Acordo Ortográfico de 1990.
2. A base do dicionário foi alterada a 1 de Abril de 2009, pelo que as referências em dúvidas anteriores a esta data podem não corresponder ao conteúdo actual.
3. As respostas sobre questões ortográficas são maioritariamente baseadas na norma ortográfica portuguesa de 1945, contendo as respostas mais recentes indicações sobre a ortografia antes e depois do Acordo Ortográfico de 1990.
4. A bibliografia utilizada está disponível aqui.