Efectivamente a palavra real admite o plural réis (não confundir com reis, plural de rei), mas apenas na acepção de antiga unidade monetária de Portugal e do Brasil. Nas restantes acepções de adjectivo e de substantivo masculino, incluindo a da actual unidade monetária do Brasil, só é admitida a forma plural reais. Não se trata assim de um duplo plural, ao contrário do caso de mel.

Notas

1. As respostas são datadas e escritas segundo a ortografia da norma europeia anterior ao Acordo Ortográfico de 1990.
2. A base do dicionário foi alterada a 1 de Abril de 2009, pelo que as referências em dúvidas anteriores a esta data podem não corresponder ao conteúdo actual.
3. As respostas sobre questões ortográficas são maioritariamente baseadas na norma ortográfica portuguesa de 1945, contendo as respostas mais recentes indicações sobre a ortografia antes e depois do Acordo Ortográfico de 1990.
4. A bibliografia utilizada está disponível aqui.