A locução à espera tem valor de advérbio (ex.: estou à espera há mais de 20 minutos), pelo que se pode classificá-la como uma locução adverbial.

Em relação à segunda questão, que diz respeito à locução prepositiva à espera de, de acordo com a Nova Gramática do Português Contemporâneo, de Lindley Cintra e Celso Cunha (p. 327), existem em português certas locuções prepositivas que permitem a substituição do pronome oblíquo tónico (neste caso, o pronome ti), quando antecedido da preposição de, pelo pronome possessivo correspondente (neste caso, o pronome tua). Assim sendo, ambas as construções devem ser consideradas correctas, à semelhança de casos como em frente de ti / à tua frente, em favor de ti / em teu favor ou à mercê de ti / à tua mercê.

Notas

1. As respostas são datadas e escritas segundo a ortografia da norma europeia anterior ao Acordo Ortográfico de 1990.
2. A base do dicionário foi alterada a 1 de Abril de 2009, pelo que as referências em dúvidas anteriores a esta data podem não corresponder ao conteúdo actual.
3. As respostas sobre questões ortográficas são maioritariamente baseadas na norma ortográfica portuguesa de 1945, contendo as respostas mais recentes indicações sobre a ortografia antes e depois do Acordo Ortográfico de 1990.
4. A bibliografia utilizada está disponível aqui.