Das frases que menciona, a correcta é a segunda, Desde há 20 minutos que a opção está bloqueada, pois neste caso deverá ser utilizado o verbo haver (no sentido de ter decorrido determinado tempo) e não a contracção da preposição a com o artigo a que especifica um nome feminino.

O emprego da preposição desde neste contexto não parece ser consensual, pois é sentido como redundante por alguns falantes, que optam por omiti-la: Há 20 minutos que a opção está bloqueada. É uma opção baseada na sensibilidade linguística de cada falante que não pode, no entanto, ser generalizada, pois há casos em que a omissão da preposição pode alterar o significado da frase. Comparem-se, por exemplo as seguintes frases:

Os cientistas estudaram amostras de fezes fossilizadas desde há 130 mil anos. [a fossilização pode ter 130 mil anos ou menos]
Os cientistas estudaram amostras de fezes fossilizadas há 130 mil anos. [a fossilização tem 130 mil anos]

Foi a operação mais violenta dos rebeldes contra o exército desde há cinco anos. [em cinco anos, foi a operação mais violenta]
Foi a operação mais violenta dos rebeldes contra o exército há cinco anos. [a operação ocorreu cinco anos antes]

Ver também: há muito tempo / a muito tempo

Notas

1. As respostas são datadas e escritas segundo a ortografia da norma europeia anterior ao Acordo Ortográfico de 1990.
2. A base do dicionário foi alterada a 1 de Abril de 2009, pelo que as referências em dúvidas anteriores a esta data podem não corresponder ao conteúdo actual.
3. As respostas sobre questões ortográficas são maioritariamente baseadas na norma ortográfica portuguesa de 1945, contendo as respostas mais recentes indicações sobre a ortografia antes e depois do Acordo Ortográfico de 1990.
4. A bibliografia utilizada está disponível aqui.