A dúvida diz respeito ao uso do infinitivo pessoal ou flexionado (fazerem) ou do infinitivo impessoal (fazer).

Quando o sujeito da oração principal (O professor) é diferente do sujeito da oração infinitiva (os alunos), a tendência é usar o infinitivo pessoal, pelo que a frase mais consensual será O professor mandou os alunos fazerem uma cópia. Note-se que não se fala marcadamente de regras relativamente a este tópico porque se trata de uma questão mais do campo da estilística do que do campo da gramática, tal como afirmam Celso Cunha e Lindley Cintra na sua Nova Gramática do Português Contemporâneo (14.ª ed., Edições Sá da Costa, Lisboa, 1998, p. 482):

«O emprego das formas flexionada e não flexionada do infinitivo é uma das questões mais controvertidas da sintaxe portuguesa. Numerosas têm sido as regras propostas pelos gramáticos para orientar com precisão o uso selectivo das duas formas. Quase todas, porém, submetidas a um exame mais acurado, revelaram-se insuficientes ou irreais. Em verdade, os escritores das diversas fases da língua portuguesa nunca se pautaram, no caso, por exclusivas razões de ordem gramatical, mas viram-se sempre, no acto da escolha, influenciáveis por ponderáveis motivos de ordem estilística, tais como o ritmo da frase, a ênfase do enunciado, a clareza da expressão. Por tudo isso, parece-nos mais acertado falar não de regras, mas de tendências que se observam no emprego de uma e de outra forma do infinitivo.»

Sobre este assunto, pode ainda consultar a resposta à dúvida linguística infinitivo flexionado e pretérito mais-que-perfeito

Notas

1. As respostas são datadas e escritas segundo a ortografia da norma europeia anterior ao Acordo Ortográfico de 1990.
2. A base do dicionário foi alterada a 1 de Abril de 2009, pelo que as referências em dúvidas anteriores a esta data podem não corresponder ao conteúdo actual.
3. As respostas sobre questões ortográficas são maioritariamente baseadas na norma ortográfica portuguesa de 1945, contendo as respostas mais recentes indicações sobre a ortografia antes e depois do Acordo Ortográfico de 1990.
4. A bibliografia utilizada está disponível aqui.